BİREYSEL RİSK MODELİ

Hayat dışı sigortalar matematiğini diğer alanlara göre göreli olarak zor kılan iki bilinmeyen vardır. Birincisi hasarın kaç adet ve ne zaman geleceğini bilemezsiniz. İkincisi ise geldiği zaman ki hasar tutarını bilemezsiniz. Zaten bu kavramlardan ilki bizim için hasar frekansı diğeri ise hasar şiddetidir. Bunların çarpımı ise aktüeryal risk primidir yani risk başına hasarı karşılamamız için bireylerden almamız gereken primdir. İyi bir aktüer bu iki ayrı kavramı iyi analiz etmeli gerekli modelleri kurmalı ve bilinmez etkileri en düşüğe indirecek adımları atmalıdır.

Bu sebeple her şirket yönetimi mevcut sahip olduğu portföyün ne kadar hasar getireceğini, nakit akışını en az hata ile bilmek ister. Bunu bilmek aslında bazen profesyonel şirketler için çok basittir çünkü zaten satış primini oluştururken aktüeryal bir tarife oluştururken “nihai H/P” tahmini yaparak aslında bu hesaplamayı yapmış olursunuz. Asıl soru… Satış primi oluşturulurken neden bu tahmin bazı şirketler tarafından yapılmaz ve sonrasında “IBNR şaşkınlığı” olur? Bu “IBNR şaşkınlığı” konusu bir sonraki yazımız olacak… Ama unutmamalı… IBNR bir neden değil… Aksine sadece basit bir sonuçtur… Beklenen ömür gibidir… (http://orhunemre.com/tr/BeklenenOmur.aspx).

Soru kolay değil, ne kadar hasar gelecek? Kim elindeki kasko portföyünün bir yıl içerisinde toplam ne kadar hasar getireceğini ve ne kadar ödeme yapacağını bilmek istemez ki? Zaten bu soruya doğru cevap verilse kar etmeme problemi, belirsizlik problemi ortadan kalkar. En nihayetinde kimse göz göre göre zarar etmek istemez. Bu rasyonel bir davranış değildir. Sektörümüzde irrasyonel davranışları çokça görmekteyiz ama buraya şimdilik girmiyoruz. Portföy toplam hasar miktarının ne olacağı konusunda aktüerya da kullanılan temel iki model mevcut bunlardan ilki bireysel risk modeli diğeri ise kolektif risk modeli. İngilizcelerini de yazalım tam olsun sırası ile “individual risk model” ve “collective risk model”.

Biz ilkine bu yazımızda değineceğiz. Sigortalı portföyünün toplam hasar miktarına “S” diyelim başka bir isimde verebiliriz ama genel kabul görmüş kaynakların notasyonundan uzaklaşmak istemeyiz. S’nin beklenen değerinin bulunması, varyansının bulunması, riske maruz değer çalışmalarında kullanılmak üzere çeyrekliklerinin bulunması oldukça önemlidir.

S aşağıdaki denklem ile tanımlansın;

Burada X her bir sigortalının getirdiği hasar miktarıdır n ise portföydeki toplam sigortalı sayısıdır. Örneğin kasko portföyümde bir yıl içerisinde 10.000 adet poliçe olsun her bir sigortalıya tekabül eden. Bir yıl içerisinde bu müşteriler tarafından getirilen hasar miktarlarım X olur bunların toplamı ise portföyümün toplam hasar miktarı olacaktır. X’lerin yapılacak analizleri ve yaklaşımları kolaylaştırmak için bağımsız olduğu varsayılmaktadır. Bağımlı olduğunu gösteren güçlü deliller var mı derseniz bunun için kaliteli tarihsel bir veri seti ile incelemek gerekir.

Devam edelim, X sigortalı bazlı hasar miktarları ise aşağıdaki gibi verilsin;

Burada “I” bireyin “q” olasılık ile hasar yapıp yapmadığını gösteren göstergedir. En nihayetinde tüm poliçeler hasar getirmeyecektir bu bilgide modele bir şekilde eklenmelidir. “B” ise hasar miktarını göstermektedir. Bu arada “I” ve “B” tabi ki bağımsızdır.

Beklenen değer ve varyansları bulmaya geçebiliriz. Girdilerimiz;

Toplam hasarlara ilişkin olasılık fonksiyonu ne olacaktır o halde bilmek önemli. Şu şekilde;

Burada;

S’ye ilişkin yoğunluk fonksiyonu tekrarlamalı (recursive) olarak kısmi toplamlara eklenerek bulunabilir;   

Ustalara saygıyla …

Merak edenler için:

Klugman, Panjer ve Wilmott, “Loss Models from Data to Decision” güzel bir kaynaktır tavsiye ederiz.

Not: “Riski ölçmek için her yol denenmelidir.”

Yazar: MockingActuaries