EŞİTSİZLİK: JENSEN EŞİTSİZLİĞİ (JENSEN’S INEQUALITY)

Kadın-Erkek arasındaki eşitsizlik, emekliler arasındaki eşitsizlik, gelir eşitsizliği, küresel eşitsizlik, eğitim sistemindeki eşitsizlik… Ama konumuz… Hayat Dışı Sigortalar Matematiği içerisinde yer alan JENSEN eşitsizliği…

Johan Ludwig William Valdemar Jensen kısaca Johan Jensen 1859-1925 tarihleri arasında yaşamış Danimarkalı bilim adamı. Kendisi 1982’den 1903’e Danimarka Matematik Derneğinin başkanlığını da yapmıştır.

Mösyö Jensen, Kopenhag Telefon Şirketinde mühendis olarak çalıştığı için matematik ile boş zamanlarında uğraşabilmiş ve çalışabilmiştir. Peki zat-ı şahaneleri aktüerya camiasınca nasıl bu kadar bilinmektedir. Kendisi ilk karşımıza “actuarial bible” diyebileceğimiz “Actuarial Mathematics (Bowers et al.)”un 9. sayfasında karşımıza “Jensen Eşitsizliği (Jensen’s Inequality)” ile çıkar. Daha aktüeryaya ısınma turlarında iken hayatımıza girer bir daha da çıkmaz.

Hani bazı kavramlar vardır açıklaması ya da teorisi yarım sayfayı geçmez sadece bir uğrayıp devam edeceğini sanırız çalışma alanımızda lakin inat edercesine her fırsatta karşımıza çıkar. Jensen eşitsizliğini o kategoriye koyabiliriz.

Nedir bu Jensen eşitsizliği?

Çok çok özet olarak şöyle ifade etmeye çalışalım… Bir an için mutluluk seviyenizin gelir seviyeniz ile belirlendiğini düşünün yani mutluluğunuz gelir seviyenizin bir fonksiyonu olsun, Mutluluk(Gelir Seviyesi). Bu gelir üzerinden yaptığımız aylık harcamalar mevcut. Her bir harcamada gelir seviyemiz değiştiği için mutluluk seviyemiz değişmektedir. Bir yıl boyunca aylık harcama sonucu aylık olarak gelir seviyemiz değişecek ve dolayısıyla mutluluk seviyemizde aylık olarak değişecektir. Aylık değişimler sonucu oluşan mutluluk seviyemizdeki değişmelerin ortalaması (Mutluluk Seviyesi/12) ile bir başka ifade ile mutluluk seviyesinin beklenen değeri ile ortalama harcamalarımızı (Harcamalar/12) baz alarak elde ettiğimiz mutluluk seviyesi (Mutluluk(Gelir – Harcamalar/12)) aynı olmayabilir. Baştan harcamaları bildiğimiz durumda vereceğimiz tepki ile süreç ilerledikçe yani bilinmeyen bir harcama olması durumunda vereceğimiz tepki farklı olabilir. Yani belirsizlik ve risk farklı mutluluk seviyesi vermemize neden olabilir.

Şimdi biraz daha matematiksel ve aktüeryal yaklaşalım…

İç bükey (konkav) ya da dış bükey (konveks) fonksiyonlarda, bir fonsiyonun beklenen değerinin, beklenen değerin fonksiyon değerine eşit olmaması Jensen (Jensen’s Inequality) eşitsizliğidir. Yani;

f(E[X])<>E[f(X)].

Eğer fonksiyon konkav ise eşitsizlik aşağıdaki gibi olacaktır. İspatı için Taylor serisinin açılımından faydalanabilirsiniz.

f(E[X])>=E[f(X)].

Şimdi gelelim aktüerya penceresine. Herhangi bir fonksiyon değil bir kişinin fayda fonksiyonunu, u, düşünelim (utility function). Jensen eşitsizliği ile bir kişinin sigorta satın almaya gönüllü olacağı prim elde edilebilir. Riskten kaçınan (risk averse) bir bireyin –ki sigorta satın alsın, risk seven bir bireyin sigortaya ihtiyacı olmayacaktır- fayda fonksiyonu konkav yapıdadır. Aşağıda görebilirsiniz. Konkav yapıda u(E[W])>=E[u(W)] olacaktır.

Kişiye ait varlığın beklenen değeri ve kişinin daha yüksek getiri elde etme şansı varken kabul edeceği garanti getiri (certainty equivalent) arasındaki fark ise risk primidir.

Bir kademe daha aktüeryal detaya girer isek…

Kişinin karşılaşabileceği rasgele X kayıplarına karşı, ödeyeceği maksimum prim bedeli, P, aşağıdaki eşitliği sağlasın,

u(W-P)=E[u(W-X)].

Jensen eşitsizliği sayesinde

E[u(W-X)<=u(E[W-X])=u(W-E[X]),

u(W-P)<=u(W-E[X]) olacaktır.

Bildiğimiz gibi u, varlığa göre (W) artan bir fonksiyondur buradan P>=E[X] sonucu çıkacaktır yani fonksiyonun içini kıyaslayabiliriz.

Sonuç sigortacılığın temel prensibi ortaya çıkar… Kişinin ödemeye razı olacağı prim kaybın beklenen değeridir yani aslında bu da Bizim risk primimizdir.

Tarife çalışmalarında yaptığımızda budur bireylerin riskten kaçınan (risk averse) birey olduğu varsayımı altında kişinin ödemeye razı olacağı primi beklenen hasar olarak belirleyip tarifeleştirmek.

Yazar: MockingActuaries