Standart Zincir Merdiven, Beklenen Hasar-Prim Oranı ve Bornhuetter-Ferguson Karşılık Yöntemlerinin Burak Yılmaz Üzerinden İzahı

Teknik karşılık hesaplamalarından IBNR tahmininde sıklıkla başvurulan yöntem Standart Zincir Merdiven Yöntemidir. Neden?… Çünkü anlatması, anlaşılması ve uygulaması kolaydır. Aktüer Dünyası bloğundaki bu yazımızda “Standart Zincir Merdiven” yöntemi ve bu yöntemin beslediği “Beklenen Hasar” ile “Bornhuetter-Ferguson” karşılık yöntemlerinden kısaca bahsedip bir de konuya farklı bir açıdan bakalım dedik.

Bir sigorta şirketinin aşağıdaki gibi bir kümülatif ödenen hasar üçgenine sahip olduğunu varsayalım.

Amacımız gri ile gösterilen alt üçgeni tahmin etmektir.

Standart Zincir Merdiven bildiğimiz üzere dönemler arasında bir gelişim katsayısı bulup üçgeni tamamlayan yöntemdir. Örneğin 2015 hasar yılına ait ödemelerim 98 bin TL olmuş. Peki 2016’da ne kadar öderim dediğim zaman 2. dönemdeki tüm tutarları toplayıp (156+172+194+271+200+318=1.311 bin TL) 1. dönemdeki tutarlara (47+48+49+92+64+85=385 bin TL) bölüyoruz ve bir gelişim katsayısı elde ediyoruz (3,41). Burada dikkat etmemiz gereken nokta bir önceki dönemin verilerini toplarken tahmin edeceğimiz yıla yani son yıla ait tutarın hesaplamaya dahil edilmemesidir (98 bin TL’yi toplam içine almadık). Aynı mantıkla tüm dönemler için benzer hesaplamayı yaptığımızda aşağıdaki katsayılar ortaya çıkar.

Mesela 2014 hasar yılına ait hasarlar için 2017 yılına kadar toplam ne kadar hasar ödeyeceğime bakmak istiyorum. O zaman 318 bin TL * 1,15 * 1,10 = 401.578 TL ile tahminimi yapabilirim.

Benzer şekilde diğer hücrelere de aynı işlem yapıldığında ortaya aşağıdaki hasar gelişim tablosu çıkacaktır.

7. sütun/dönemdeki tutarlar benim nihai hasarlarımı ifade ediyor. Yani ilk şekildeki hasar portföyüm gelişimini tamamladığı zaman ödeyeceğim toplam hasar yaklaşık 2.451 bin TL olacaktır (203+230+293+433+319+474+497).

Standart Zincir Merdiven’in temel mantığı budur. Geçmiş hasarları kullanarak gelişim faktörleri bulup nihai hasar tahmini yapmak. Aslında konuyu daha da detaylandırabiliriz ama o hakkımızı başka bir yazıda kullanalım.

Gelelim Beklenen Hasar yöntemine. Bu yöntemin etraflıca izahını CASACT tarafından yayınlanan “Estimating Unpaid Claims Using Basic Techniques” çalışmasında bulabilirsiniz (http://www.casact.org/library/studynotes/Friedland_estimating.pdf).

Biz kısaca mantığından bahsedelim. Yöntemin temeli önsel bir beklenen hasar tahminine dayanıyor. Bu tahmin birçok şekilde yapılabilir. Sıklıkla tercih edilen ise kazanılan primin de işin içine girdiği hasar-prim oranı analizidir. Genellikle önceki yılların hasar-prim oranları dikkate alınır.

Basit bir örnek ile konuyu açıklayalım…

Önceki örneğimizde nihai hasar tahmini yapmıştık. Bu tahmin ile ilgili yıllara ait kazanılan prim tutarları beraber değerlendirilecek olursa;

Yukarıdaki tablo ortaya çıkar. Burada dikkate alınacak H/P oranı birçok şekilde hesaplanabilir. Belirli bir yıl dikkate alınabilir veya birden fazla yılın bir ortalaması kullanılabilir. Biz diyelim ki mevcut yıl hariç önceki yılların H/P ortalamasını kullanmaya karar verdik ((%115+%103+%124+%124+%80+%77)/6=%104). Bu oranın 2015 yılı kazanılan prim rakamı ile çarpılması ile 276.000*%104 = 286.785 TL ilgili yıl için nihai hasar tahmini yapmış oluruz (Dikkat edersek aynı yıl için Standart Zincir Merdiven tahmini 497.467 TL idi).

Hiç vakit kaybetmeden Borhuetter-Ferguson’a (BF) geçelim…

Standart Zincir Merdiven yönteminde mevcut ödenen hasarları gelişim faktörleri ile çarparak nihai hasara ulaştık. Fakat yöntemin dezavantajı şu: Herhangi bir dönemde hasar üçgenimizin normal trendinin üzerinde bir hasar ödemesi gerçekleşmişse, gelişim faktörümüz yüksek çıkar. Bu da haliyle nihai hasarı şişirir. Beklenen Hasar yöntemin de ise geçmiş yıl hasarları dikkate alınıyor. Böylece yöntem her ne kadar daha tutarlı bir nihai hasar tahmini yapmamızı sağlasa da mevcut hasarları dikkate almadığı için zayıf kalmaktadır.

İşte BF yöntemi az önce değindiğimiz her iki yöntemi olumsuz yanlarından kurtarıp bir araya getiriyor. Bunu da yöntemleri kendi aralarında ağırlıklandırma ile başarıyor. Bir örnek ile konunun daha net anlaşılmasını sağlayalım.

Beklenen hasar yönteminde yaptığımız hasar tahminleri şu şekildeydi:

Bu aşamada ağırlıklandırma olarak sözünü ettiğimiz işlemi gerçekleştiriyoruz. Diyoruz ki 2015 yılı için 286.785 TL’lik bir tahminimiz var ama daha ödemediğimiz bir hasar kısmı da var. Bunu da Standart Zincir Merdiven yönteminden elde ediyorum.

İlk örneğimizde 2015 hasar yılı için aynı yıl 98.000 TL ödediğimizden, tahminimizin de 497.467 TL olarak gerçekleştiğinden bahsetmiştik. Bir başka ifade ile toplamda ödenecek olan 497.467 TL’lik hasarın 98.000 TL’sini hali hazırda ödemişim (98.000/497.467=%20 ödenmiş). Benzer şekilde 2012 hasar yılı için 2015 yılında 367.000 TL hasar ödemişim ve üçgenim tamamlandığında toplam 433.321 TL ödemeyi bekliyorum (367.000/433.321=%85). Bu mantıkla ödediğim ve ödemeyi beklediğim hasarların yüzdesine hasar yıllar itibari ile bakacak olursak,

ortaya çıkar (ödemeyi beklediğim kısmı “1-Ödediğim kısım” ile buluyorum). Şimdi son bölüme geçiyoruz. 2015 hasar yılı için bir tahminim var, ama ileride ödemeyi beklediğim %80’lik bir kısım da var. Dolayısı ile 230.289 TL daha ileride ödeyeceğimi düşünüyorum (286.785*%80). Halihazırda aynı dönem içinde ödediğim bir de 98.000 TL var. Yani toplamda 328.289 TL 2015 hasar yılı için BF nihai hasarım olacak (230.289+98.000).

Üç yöntemin nihai hasar sonuçlarını toparlarsak,

Şimdi tüm bunları bir kenara bırakıp yöntemleri başka bir şekilde yorumlayalım.

Galatasaray yıldız forveti Burak Yılmaz’ı geçtiğimiz aylarda Çin’in Beijing Guoan takımına hatırı sayılır bir para karşılığında gönderdi. Bir kısım Galatasaray taraftarı bir yandan Burak’tan kurtulduğu için sevinebilir bir yandan da yedek kulübesinde var olan bir “Umut gerçeği” canlarını sıkabilir.

Peki bunların karşılık hesaplama yöntemleri ile ne alakası var?

Şöyle izah edelim…

Burak Yılmaz Galatasaray’a geldiği 2012-2013 sezonunda toplamda 32 gol atmış (tüm kupalar dahil olmak üzere). 2013-2014 sezonunda 18, 2014-2015 sezonunda ise 22 gol istatistiklerini yakalamış.

Devam etmekte olan 2015-2016 sezonunda ise 21 maçta 10 gol atmış (Senede 40 maç yaptığını biliyoruz).

Standart Zincir Merdiven yöntemine göre Burak Yılmaz sezon sonunda (Galatasaray’da kaldığı varsayımında) 19 gole ulaşacaktır (40 maç toplam/21 maç oynanan = 1,9 * 10 gol = 19).

Beklenen Hasar yöntemi ise der ki Burak Yılmaz geçtiğimiz üç sezon boyunca 24 gol ((32+18+22)/3) ortalaması ile oynamış. Sezonu 24 golle tamamlayacaktır.

BF’ ye baktığımız zaman ise şu sonuç çıkar: Burak şu ana kadar 10 gol atmış. Beklenen Hasar yöntemine göre beklediğimiz gol sayısı 24. Ama maçların 21/40’ı yani 0,525’i oynanmış. Oynanmamış olan daha 0,475’lik bir kısım var. Dolayısı ile kalan maçlarda 11 (24*0,475) gol daha atmasını bekleriz. Yani sezon sonunda 21 (10 atılan+11 beklenen) gol istatistiğini yakalayacaktır.

Gördüğünüz gibi aslında aktüerya hayatın her alanına yorumlanabilir bir disiplin. Ne kadar çok şey öğrenip kendimizi geliştirirsek, bilimin karmaşıklığını da o kadar sadeleştirmiş oluyoruz.

Başka yazılarda görüşmek dileği ile…

Yazar: Zomato