Korsakoff- David Helfgott-Copula

Yine ayrıntı takıntısı ile yazıp az okunan yazılara bir yenisini daha eklemek isteriz…

1996 yılında David Helfgott’un hikayesinin anlatıldığı bir film çekilir. Filmin adı “Shine”dır. film Oscar almaya da hak kazanmıştır. David Helfgott, 1947 yılında Melbourne Avustralyada doğmuştur. Genç yaşlarında piyano üzerindeki sıra dışılığını göstermiştir. Dünyanın en önemli piyanistleri arasında gösterilir. Özellikle belirtmek istemiyoruz ama sıra dışılığın sebebi şizoaffektif bozukluğa sahip olması mıdır bilemiyoruz. On dokuz yaşına geldiğinde Londra, İngiltere’deki Kraliyet Müzik Akademisi (Royal Academy of Music)’ne burs kazanmış ve piyanist Cyril Smith ile üç yıl çalışmıştır.

Kendisine ait internet sayfası http://www.davidhelfgott.com/ …

Shine filminin en etkileyici sahnelerinden birisi David Helfgott’un bir restoranda kendisini dikkate almayan restoran sahibi ve birkaç insanı hayretler içerisinde bırakan sahnesidir.

Buyurunuz o etkileyici performans…

https://www.youtube.com/watch?v=8_p6-cAMr_g

Bu muhteşem eser “Flight of the Bumblebee” Nikolai Rimsky-Korsakoff’a aittir. Toprağı bol olsun…

Yaşanmış bir hayat, bu hayatı konu alan bir film ve filmin en vurucu sahnesinde sahnelenen eser… Birbirlerine bağlıdır.

Biz bu yazımızda bir başka bağdan bahsedeceğiz kopulalar (copula)…

Konuya başlamadan olasılığa ilişkin bazı temel konuların üzerinden bir geçelim. Rastlantı değişkeni örneklem uzayının her noktasına gerçel bir sayı bağlayan bir fonksiyondur. Örneğin F(y) raslantı değişkeni olsun. Örneklem y noktası için alacağı değer F(y)’dir. Şöyle basitleştirelim tarife modelimde araç markalarını bir risk faktörü olarak kullanıyorum. Her bir markanın kaza yapma olasılığı benim için örneklem uzayında y’nin F(y) ile alacağı gerçel değer olarak atayabilirim. Bu basit tanım aslında her gün karşımıza çıkan aktüeryal analizlerde kullandığımız dağılımların temelini oluşturur.

Rasgele bir değişkenin z’den az ya da eşit olması olasılığı F(z) ile gösterildiğini biliyoruz. F(z) dağılım fonksiyonu 0 ile 1 arasındadır. Örneğin normal dağılım için dağılım fonksiyonunun gösterimi F(z;μ,σ²)’dir, kolaylık olsun diye F diyelim.

Tabi dağılımların tek boyutlu olması gibi bir kaide mevcut değil. Birden çok rastlantı değişkeni de bulunabilir. Örneğin mevduat faiz oranı ve borsa endeksi birlikte incelenebilir. O zaman bileşik dağılım fonksiyonu F(x, y) olacaktır. Buradan x ve y’nin tanım aralıkları da dikkate alınarak marjinal dağılımlar elde edilebilir.

Kopulalar (Copula) tam da bu noktada kullanılmaktadır. Kopula iki ya da daha fazla marjinal dağılımı birleştiren bir fonksiyondur. Şimdi diyebilirsiniz ki bileşik dağılım mevcut değil mi ne gerek var kopulaya işte burada bağımlılık kavramı devreye girmektedir. Ya değişkenleriniz arasında bir korelasyon var ise ne olacaktır? Bağımlılık durumunun korunması yapılan incelemelerin gerçeğe yaklaşmasını sağlamaktadır. Kopulalar bağımlılık ve bileşik dağılım fonksiyonlarını modellemek için yaklaşımların geliştirilmesinde sıklıkla kullanılmaktadır.

Biraz daha istatistiksel olarak açıklamaya çalışalım.

– (X1, X2, X3,…,Xn) rasgele değişkenlerinin sürekli dağılım fonksiyonları Fi(x)=P[Xi<=x] olsun.

– (U1, U2, U3, …, Un) = (F1(X1), F2(X2), F3(X3), …, Fn(Xn)) uniform dağılan marjinal fonksiyonlardır.

– (X1, X2, X3,…,Xn)’nin kopula fonksiyonu U’ların bileşik dağılım fonksiyonu ile karşımızdadır;

C(u1, u2, u3, …, un)=P[U1<=u1, U2<=u2, U3<=u3, …, Un<=un]

– C, X’ler arasındaki bağımlılık yapısını içermektedir.

En sık kullanılan kopula aileleri Gaussian kopula ailesi ve  Archimedean kopula ailesidir.

Mini bir toparlama yapalım. Birbiri ile ilişkili iki değişken düşünün V1 ve V2. V1’in marjinal fonksiyonu değişkenin fonksiyonudur ve V2 hakkında hiçbir bilgi içermemektedir. Aynı durum V2 içinde geçerlidir. V2’nin marjinal fonksiyonu V1 hakkında hiçbir bilgi içermemektedir. V1 ve V2’ye ilişkin marjinal fonksiyonlar belirlendiğinde aralarındaki bağlılığı tanımlamak ve bileşik fonksiyonlarını tanımlamak istediğinizde kopula devreye girmektedir.

Tedirgin olacak bir şey yok kopula dediğimiz şey iki ya da daha çok değişkenin marjinal fonksiyonlarının korunarak bileşik fonksiyonlarının oluşturulmasından başka bir şey değildir.

Bu yazımızda değil ancak takip eden yazılarda nerelerde kullanıldığını da yazacağız…

Aktüerler olarak gücümüz ne kadarına yetiyorsa o kadar yazmaya devam edeceğiz.  Mesleğimizi ustalardan devralıp gereği gibi yerine getirmeye ve ilerletmeye çalışan bir avuç insanız ve yazdıklarımıza katılmadığınızı belirttiğiniz yorumlar özellikle bizi çok mutlu ediyor.

Yazar: MockingActuaries