Modeller Hangi Gerçekliğin Hangi Parçalarıdır?

“Aktüeryal Modelleme: Gerçek hayatta karşılaştığımız aktüeryal problemlerin sadeleştirilmesi, ortaya konulması ve matematiksel forma dönüştürülmesi sonrasında sonuçlar çıkartılması ve kullanması… Kelimelerin ve düşüncelerin sanallıktan çıkıp aktüeryal form ile buluşması…” 

Derin bir tarife analizine başladık. Poliçe verilerini temin ettik, hasar verilerini istedik. Poliçe ve hasar eşleştirmesini yaptık. Artık frekans ve şiddet modellemelerine hazırız. Dağılım incelemesi yapacağız, büyük hasar var mı bakacağız, risk faktörlerini belirleyeceğiz. Ancak baktığımızda poliçelerin birçoğuna hasar gelmediğini görüyoruz. Pek tabi hasar gelmedi ise nasıl tarife çalışması yapacağız? İşveren sorumluluk gibi uzun kuyruklu branşlarda bu durum ile karşılaşmaktayız…

Hasar sayısına ilişkin modellemelerde karşılaşılan sık sorunlardan biri modellemede kullanılacak veride sıfırların olması hatta kimi zaman bu sayının fazla olmasıdır. Bu neden ile sıkça kullanılan Negatif Binom ve Poisson’a fit ettirilmek istenen veri seti uyum göstermez. Örneğin elinizde hasar sayısı verileri var ancak sıfır sayısı oldukça çok bu durum modelleme aşamasında sorun yaratmaktadır. Aslında sorun örneğin Poisson regresyon modeli için şudur bildiğimiz gibi Poisson’un ortalama ve varyansı teoride eşittir ancak uygulamaya döndüğümüzde varyansın ortalamadan büyük olduğu durumlar ile karşılaşabiliriz (overdispersion) işte bu durumlarda zero-inflated yaklaşımı kullanılabilir.

Bunun için en popüler çözüm sıfır harici verinin modellenmesi bir başka ifade ile zero-inflated dağılımların kullanılmasıdır. Zero-inflated dağılım aslında iki farklı dağılımın birleştirilmiş halinden başka bir şey değildir. Şöyle ki sıfırlar için gösterge dağılım (indicator) ile diğer durumlar için standart hasar sayısı dağılımları kullanılmaktadır.

Olasılık dağılımını aşağıdaki şekilde oluşturabiliriz;

P[Y=y]=

Sıfır durumunda; Φ + (1-Φ)P[V=0] , n=0

Sıfırdan farklı durumda; (1-Φ)P[V=y]        , n=1,2, …

V standart hasar sayısı dağılımlarını göstermektedir.

Φ 0 ile 1 arasında bir sabittir. Limit durumunda Φ >>> 0, zero-inflated model V’nin dağılımına yaklaşmaktadır. Farklı farklı dağılımlar V için kullanılmak ile birlikte, hayat dışı sigortalarda prim modellemelerinde hasar frekans modellemesinde kullanılan Poisson dağılımını kullandığımızda zero-inflated Poisson (ZIP) dağılımı aşağıdaki şekilde gerçekleşecektir;

P[Y=y];

Φ+(1- Φ)e^-λ, y=0

(1- Φ)( e^-λ λ^y)/(y!), y=1,2,…

İlk kısım bir logit model ikinci kısım ise Poisson dağılımını göstermektedir.

Ben detaya inmek istiyorum diyenler için buyurunuz örnek birkaç kaynak…

Not: Dalgasız denizde herkes kaptandır. Unutmayın! Aktüer dalgalı denizlerin kaptanıdır…

Boucher, J.-P., M. Denuit, and M. Guill´en (2009). Number of accidents or number of claims? An approach with zero-inflated Poisson models for panel data. Journal of Risk and Insurance 76(4), 821–846.

Denuit, M., X. Mar´echal, S. Pitrebois, and J.-F. Walhin (2007). Actuarial Modelling of Claim Counts: Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus Systems. Wiley, New York.

Lemaire, J. (1995). Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance. Kluwer Academic Publishers, Boston.

EDWARD W. FREES, RICHARD A. DERRIG, GLENN MEYERS, Predictive Modeling Applications in Actuarial Science Volume I: Predictive Modeling Techniques.

Yazar: MockingActuaries