Fibonacci, ya Aktüer ise?

Geçenlerde SOA’nın periyodik olarak çıkardığı “The Actuary” dergisinin 1989 yılına ait bir yazısına (https://www.soa.org/globalassets/assets/library/newsletters/the-actuary/1989/june/act-1989-vol23-iss06-sondergeld.pdf) denk geldik. Okurken bir kez daha matematik ve aktüeryaya hayran bırakan bu yazıyı sizinle de paylaşmak isteriz.

Yazımıza başlamadan önce biraz Fibonacci’yi tanıyalım. 1175’te doğan Leonardo Fibonacci’nin ünü, 27 yaşında aritmetik üzerine yazdığı “Liber Abaci” isimli kitap ile başlıyor. Özellikle kitapta bahsettiği bir tavşan problemi oldukça popüler oluyor. Kitaptaki meşhur tavşan problemi şu şekilde: “Bir çiftlikte ocak ayında bir çift tavşan olduğunu düşünelim. Bu tavşan çifti, şubat ayında bir çift daha tavşan doğuruyor ve sonra her ay bir çift tavşan daha doğurmaya devam ediyorlar. Doğan her yeni tavşan çifti ise, doğduktan bir ay sonra erginleşiyor ve onlar da her ay bir çift tavşan daha doğuruyorlar. Bu şekilde, gelecek aralık ayında çiftlikte kaç çift tavşan olur?”

F(n) ayının sonunda kaç tavşan çifti olduğunu gösteren denklem F(n)=F(n-1)+F(n-2) olarak ifade ediliyor. Bu da günümüzde Fibonacci serisi diye adlandırdığımız, kendinden önceki iki sayının toplamı şekliden ilerleyen sayı dizisi oluyor. (Fibonacci Serisi : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …..)

Bu serideki ardışık iki sayının birbirine oranının (F(n)/F(n-1)) n artarken limitine bakıldığında ise (1+5^1/2)/2 olduğu, yani bugün tüm dünyaca kabul edilen doğanın mükemmel uyumunu temsil eden yaklaşık 1,6 olan “Altın Oran” olarak kabul ediliyor.

Fibonacci serisinin doğadaki emsallerine bakarsak Mısır’daki piramitler, Leonardo da Vinci’nin Mona Lisa tablosu, çam kozalağı, Ömer Hayyam üçgeni gibi birçok örnek karşımıza çıkıyor.

Bu güzelliği bir kenara bırakıp Donald R. Sondergeld’in yazısına dönersek. Levine, Fibonacci serisinin genel denklemini genişletip, adına “Multinacci” dediği aşağıdaki denklemi yazıyor.

 F(n)=F(n-1)+q*F(n-2) burada q çiftlikteki ilk tavşan çifti sayısını temsil ediyor. q=1 kabul edersek, zaten orijinal Fibonacci tavşan problemine dönmüş oluyoruz.

Sonrasında Donald, Levine’in Multinacci’sini daha da geliştirerek S(n)=F(n-g)+q*F(n-g-m) eşitliğini geliştiriyor. Burada;

• q, Levine’nin denklemindeki q ile aynı şekilde çiftlikteki ilk tavşan çifti sayısını,
• g, gebelik süresini,
• m ise tavşanların üreyebilecek erginliğe gelmesi için geçen süreyi temsil ediyor.

Aynı şekilde eğer B(n), n ayında doğan bebek tavşan çiftelerinin sayısını temsil ediyor dersek de

 B(n)=B(n-g)+q*B(n-g-m) olurdu.

Bu da bizi “actuarial-nacci”ye getiriyor.

Sonrasında David “eğer Fibonacci tavşanların demografisi üzerine çalışan bir aktüer olsaydı, bu formülü burada bırakmaz ve tavşanların doğurganlık, ölüm, göç gibi birçok değişkenini daha bu denkleme katardı” diyerek formülü aşağıdakine dönüştürüyor.

Diyelim ki tavşanlar d ay yaşıyor ve sonra ölüyor. Dolayısı ile bir tavşan çifti doğduktan sonra d-1 ay içerisinde sınırlı sayıda üreyebiliyor. (Fibonacci problemindeki ölümsüz tavşanlar ve sınırsız üreme devri bitti). Bir tavşan kendi doğduktan m+g sonra ilk doğumunu yapıyor, m+2g sonra 2. doğumunu vb. şeklinde ilerliyor.

n. ayda, geçmiş d aydaki yaşayan tavşan çiftlerinden B(n) adet yeni tavşan çifti doğuyor.

B(n)=q*toplam(K(n-i)*B(n-i))

Eğer tavşanlar hayatlarının doğurgan oldukları f kadar ayı boyunca üreyebiliyor olsalardı, yukarıdaki denklemde üst sınır olan d yerine f yazardık.

Elbette farklı değişkenler ve bakış açıları ile bu denklemleri daha fazla geliştirmek mümkün. Ama buraya kadarki kısım genel mantık akışını yeterince özetlediği için bu yazımızda burada kesiyoruz.

Bir Fibonacci probleminden başlayarak yazdıkları ile matematik ve aktüeryanın yaşamın tam içinde olduğunu hissettirdikleri için hem Levine hem de David’e teşekkür ederiz.  

Bizim yazımızın başlığındaki “Fibonacci aktüer miydi?” sorusuna dönersek; Fibonacci o gün belki aktüer değildi ama kesinlikle bizce bir aktüer olabilirdi…

Yazar: Senem Özçalışan